数学上，有哪些让人拍案叫绝的证明过程？

1.勾股定理得的无字证明

这个大家小学就学过的古老定理，有着无数传奇故事。我可以很随意的写出她的10个不同的证明方法。而路明思（Elisha Scott Loomis）在 《毕达哥拉斯命题》（ Pythagorean Proposition）提到这个定理的证明方式居然有367种之多，实在让人惊讶。

2.欧拉的流氓证明法

在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，他采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。

3.旋轮线的面积求解

车轮在地上旋转一圈的过程中，车轮圆周上的某一点划过的曲线就叫做“旋轮线”。在数学和物理中，旋轮线都有着非常重要而优美的性质。比如说，一段旋轮线下方的面积恰好是这个圆的面积的三倍。

这个结论最早是由伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）发现的。不过，在没有微积分的时代，计算曲线下方的面积几乎是一件不可能完成的任务。伽利略是如何求出旋轮线下方的面积的呢？他的方法简单得实在是出人意料：它在金属板上切出旋轮线的形状，拿到秤上称了称，发现重量正好是对应的圆形金属片的三倍。在试遍了各种数学方法却都以失败告终之后，伽利略果断地耍起了流氓，用物理实验的方法测出了图形的面积。用物理实验解决数学问题也不是一件稀罕事了，广义费马点（generalized Fermat point）问题就能用一套并不复杂的力学系统解出，施泰纳问题（Steiner tree problem）也可以用肥皂膜实验瞬间秒杀。

【命P_x(1,2)为适合下列条件的素数p的个数： x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3) 其中p_1, p_2 , p_3都是素数. 用x表一充分大的偶数. 命Cx={∏p|x,p 2}(p-1)/(p-2){∏p 2}(1-1/(p-1)^2 ) 对于任意给定的偶数h及充分大的x,用xh(1,2)表示满足下面条件的素数p的个数： p≤x,p+h＝p_1或h+p＝(p_2)*(p_3), 其中p_1,p_2,p_3都是素数.

也许这不是最拍案叫绝的证明过程，但绝对是中国人在数学领域内做出的最杰出的贡献，这就是我国著名数学家陈景润在1966年提出的，关于哥德巴赫“1+2”的证明。

1973年,《中国科学》杂志正式发表了陈景润的论文《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》

时至今日，依然没有任何数学家能够证明“1+1”的问题，所以陈景润这个关于“1+2”问题简洁清晰的证明便显得弥足珍贵。

这个问题是很带有主观色彩的，毕竟每个人看法不一样，我只说出我认为数学上好的证明过程。

无理数的无理数次方可能为有理数

说实话无理数的无理数次方让人听起来就有点头晕，现在还要证明其结果可能为有理数。有些数学不好的人可能脑袋都要大了。

但总有一些人我们理解不了，例如这种证法若根号2的根号2次方为有理数，命题得证以得证。如果这个数扔为无理数那么:

中国古人对勾股定理的证明

勾股定理没有人不知道，但是这只是以我们现在的眼界去看。想想我们的古人在千年之前就能够证明了！

这是三国时期赵爽的证明过程:

三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青放并成弦方。依其面积关系有a^2+b^2=c^2.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以赢补

虚，只要把图中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（c……2 ）。由此可证勾股定理。

x-p=p_1或x-p=(p_2)*(p_3) 其中p_1, p_2 , p_3都是素数. 用x表一充分大的偶数. 命Cx={∏p|x,p

2}(p-1)/(p-2){∏p 2}(1-1/(p-1)^2 )

对于任意给定的偶数h及充分大的x,用xh(1,2)表示满足下面条件的素数p的个数：

p≤x,p+h＝p_1或h+p＝(p_2)*(p_3),

其中p_1,p_2,p_3都是素数.也许这不是最拍案叫绝的证明过程，但绝对是中国人在数学领域内做出的最杰出的贡献，这就是我国著名数学家陈景润在1966年提出的，关于哥德巴赫“1+2”的证明。1973年,《中国科学》杂志正式发表了陈景润的论文《大偶数表为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》时至今日，

依然没有任何数学家能够证明“1+1”的问题，所以陈景润这个关于“1+2”问题简洁清晰的证明便显得弥足珍贵。这个问题是很带有主观色彩的，毕竟每个人看法不一样，我只说出我认为数学上好的证明过程。无理数的无理数次方可能为有理数说实话无理数的无理数次方让人听起来就有点头晕，现在还要证明其结果可能为有理数。

有些数学不好的人可能脑袋都要大了。但总有一些人我们理解不了，例如这种证法若根号2的根号2次方为有理数，命题得证以得证。如果这个数扔为无理数那么:此时我们同样得到了一个无理数的无理数次方是有理数的例子。

数论：

①费马二平方和定理（奇素数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1）：构造对合

请问费马二平方和定理由Don Zagier在1990年给出的最简单的证明方法是什么？

②费马大定理：使用椭圆曲线与模形式

Yves Hellegouarch 在1975年 提出了把费马方程的解与一个完全不同的数学对象椭圆曲线联系起来的想法：

设P 是奇素数，假如费马大定理不成立

那么存在 abc 是正整数，使得

与之相匹配的由方程：

定义的代数曲线是亏格为1的椭圆曲线。

Gerhard Frey 在1982 年猜想这条曲线不具有模性，该曲线后来被称为 Frey 曲线。1986年，猜想被Ribet证明，从而 Frey 曲线是谷山志村猜想的反例，如果谷山志村猜想为真，那么费马大定理成立，这在费马大定理和谷山志村猜想之间架起了一座桥梁，详情参考：

为什么费马大定理在数学史上的地位如此重要？

⒉几何：

①正十七边形可以尺规作出：

求圆心角余弦的二次根式表达式

你也可以轻松的画出正十七边形

尺规作正十七边形究竟有多难？

如何用尺规做正65537边形？

②角格点问题（源于Langley"s Adventitious Angles)

使用三外心方法代数化，转化为数论问题

“角格点”完全分类

一些平面几何做法

如何用平几方法解决三角形角格点问题？

20度30度40度50度的角格点几何题

⒊代数：

①一元五次以上方程没有一般的根式解：

使用群和域，方程有根式解的充要条件是其伽罗瓦群是可解群

数学中有许多令人惊叹的证明过程，以下是其中一些例子：

1. 费马大定理的证明：费马大定理是数学中最著名的问题之一，该问题在费马提出后花费了数百年才被证明。安德鲁·怀尔斯在1994年提出了一个惊人的证明，涉及许多高深的数学知识，如椭圆曲线和模形式。

2. 四色定理的证明：四色定理声称任何平面图都可以用四种或更少的颜色进行着色，以确保相邻的区域具有不同的颜色。该定理的证明涉及了大量的图论和图着色的研究，并且由于其复杂性而备受关注。最终，在1976年，该定理由Appel和Haken通过使用计算机辅助证明得到了解决。

3. 哥德巴赫猜想的证明：哥德巴赫猜想声称每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。这个猜想在数学界存在了几个世纪，直到2013年，秘鲁数学家哈拉尔多·埃斯普罗萨提出了一个惊人的证明。他的证明涉及到大量的数论和组合数学的技巧，引起了广泛的讨论和赞赏。

这些仅是众多数学中令人叹为观止的证明之一。数学领域中有许多其他具有启发性和创新性的证明过程，展示了人类思维的奇妙能力。

伯努利对最速降线的证明最速降线问题，是17世纪的著名难题，难倒了很多数学家。1630年，大科学家伽利略，提出"一个质点，只在重力作用下，从一个给定点，到不在它垂直下方的另一点，不计摩擦力，问沿着什么曲线下滑，所需时间最短？"“如果使分层无限增加，每层的厚度无限变薄，则质点的运动趋近于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线。而折线的每一段趋向于曲线的切线，因此得到最速降线的一个重要性质，即任意一点上切线和铅垂线所成的角度的余弦，与该点落下的高度的平方根的比值是常数。而具有这种性质的曲线就是摆线。”

欧拉对巴塞尔级数的证明巴塞尔级数（1+1/4+1/9+1/16+……），于1650年提出，一百多年来，无人能给出准确值，甚至牛顿、莱布尼兹和伯努利这样的大数学家，掌握微积分都无能为力。然而在1734年，27岁的大数学家欧拉，利用非常基础的知识解决了这个难题。

莱布尼兹级数的证明大名顶顶的莱布尼兹级数该级数形式非常美妙，还包含了圆周率，表面上看，这个级数的证明，应该不简单，可事实是，只要稍微懂点微积分知识，就相当容易。

康托尔对自然数和有理数"一样多"的证明康托尔之前，人们都认为有理数远远多于自然数，直到康托尔指出，两者的势是一样的，并提出著名的对角线法则。

1. 费马大定理的证明过程：早在17世纪，法国数学家费马提出了著名的费马大定理。这个问题一直是数学史上最为著名的未解之谜之一。直到很晚才有数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）终于在1995年成功地证明了这一定理。怀尔斯用了8年时间才完成了这个任务，其证明过程被认为是数学史上最复杂和最令人难以置信的证明之一。

2. 点线平面公理的构建过程：欧几里德的《几何原本》是古代数学的杰作之一。欧几里德通过构建几何公理，引出了众多几何学的经典命题。在点线平面公理的构建过程中，欧几里德把几何学从单纯的测量转化为纯粹的逻辑数学问题，这一过程被认为是古代数学中最为重要的证明过程之一。

3. 康托尔集合论的进阶过程：康托尔集合论被认为是现代数学的基础之一。康托尔对无限集合的思考，引出了无穷可数集合和无穷不可数集合的概念，引领了数学的进一步发展。康托尔的证明方法、概念创新和数学思维方式被称为伟大的数学思想和方法理论的创始人。

4. 柯西不等式的证明过程：柯西不等式被认为是数学分析中最基本的不等式之一。这个不等式是由法国数学家阿道夫·柯西在1821年提出的。柯西不等式在各种领域都有广泛的应用。其证明过程在数学思维和技能、分析推理方面均达到了崭新的高度，这一过程受到广泛关注并被深入研究。

5. 平面几何基础理论的建立：长期以来，平面几何一直是数学分析中最基础的一部分之一，关乎各种几何重要公式和定理的建立过程。先驱者们在不断探索中，建立了平面几何的基础理论，并开拓了数学研究的新领域，这被认为是大航海的起点之一。

伯努利对最速降线的证明最速降线问题，是17世纪的著名难题，难倒了很多数学家。1630年，大科学家伽利略，提出"一个质点，只在重力作用下，从一个给定点，到不在它垂直下方的另一点，不计摩擦力，问沿着什么曲线下滑，所需时间最短？"“如果使分层无限增加，每层的厚度无限变薄，则质点的运动趋近于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线。而折线的每一段趋向于曲线的切线，因此得到最速降线的一个重要性质，即任意一点上切线和铅垂线所成的角度的余弦，与该点落下的高度的平方根的比值是常数。而具有这种性质的曲线就是摆线。”

欧拉对巴塞尔级数的证明巴塞尔级数（1+1/4+1/9+1/16+……），于1650年提出，一百多年来，无人能给出准确值，甚至牛顿、莱布尼兹和伯努利这样的大数学家，掌握微积分都无能为力。然而在1734年，27岁的大数学家欧拉，利用非常基础的知识解决了这个难题。

莱布尼兹级数的证明大名顶顶的莱布尼兹级数该级数形式非常美妙，还包含了圆周率，表面上看，这个级数的证明，应该不简单，可事实是，只要稍微懂点微积分知识，就相当容易。

康托尔对自然数和有理数"一样多"的证明康托尔之前，人们都认为有理数远远多于自然数，直到康托尔指出，两者的势是一样的，并提出著名的对角线法则。

1630年，大科学家伽利略，提出"一个质点，只在重力作用下，从一个给定点，到不在它垂直下方的另一点，不计摩擦力，问沿着什么曲线下滑，所需时间最短？"“如果使分层无限增加，每层的厚度无限变薄，则质点的运动趋近于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线。

而折线的每一段趋向于曲线的切线，因此得到最速降线的一个重要性质，即任意一点上切线和铅垂线所成的角度的余弦，与该点落下的高度的平方根的比值是常数。而具有这种性质的曲线就是摆线。”

欧拉对巴塞尔级数的证明巴塞尔级数（1+1/4+1/9+1/16+……），于1650年提出，一百多年来，无人能给出准确值，甚至牛顿、莱布尼兹和伯努利这样的大数学家，掌握微积分都无能为力。

然而在1734年，27岁的大数学家欧拉，利用非常基础的知识解决了这个难题。

莱布尼兹级数的证明大名顶顶的莱布尼兹级数该级数形式非常美妙，还包含了圆周率，表面上看，这个级数的证明，应该不简单，可事实是，只要稍微懂点微积分知识，就相当容易。

康托尔对自然数和有理数"一样多"的证明康托尔之前，人们都认为有理数远远多于自然数，直到康托尔指出，两者的势是一样的，并提出著名的对角线法则。

数学是一门需要逻辑思维和严密证明的学科，因此，数学中的一些证明过程常常让人拍案叫绝。以下是关于数学中让人拍案叫绝的一些证明过程的文章。

1. 费马大定理的证明

费马大定理是数学史上最著名的问题之一，它声称对于任何大于2的整数n，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。然而，这个问题在数学家们的尝试下，直到1995年才被安德鲁·怀尔斯证明。他使用了一种名为“模形式”的数学工具，通过创新性的方法证明了费马大定理。这个证明过程被誉为数学史上最伟大的证明之一，让人拍案叫绝。

2. 哈利·波特的魔法证明

哈利·波特的魔法证明是一种用于解决图论问题的算法。这个算法在1990年由两位数学家发明，并以哈利·波特的名字命名。这个算法被证明是解决图论问题的最快方法之一，这让人们震惊不已。哈利·波特的魔法证明不仅让人拍案叫绝，还为数学家们提供了一种有效的解决方法。

3. 康威的生命游戏

康威的生命游戏是一种基于细胞自动机的模拟游戏。这个游戏在1970年由数学家约翰·康威发明，并在数学和计算机科学领域中广泛应用。在这个游戏中，每个细胞都可以有两种状态：生或死。这个游戏的规则非常简单，但是可以产生出极其复杂的图案。康威的生命游戏是一种让人们惊叹的证明过程，它展示了简单规则下的复杂性。

4. 黑白染色问题

黑白染色问题是一种著名的数学问题，它声称对于任何平面图，都可以用两种颜色将其染色，使得相邻的区域颜色不同。这个问题在20世纪初由数学家列维-图拉斯发表，但是直到1976年才被美国数学家汤姆森证明。他使用了一种名为“离散傅里叶变换”的数学工具，通过创新性的方法证明了黑白染色问题。这个证明过程被誉为数学史上的里程碑，让人拍案叫绝。

以上是关于数学中让人拍案叫绝的一些证明过程的文章。这些证明过程不仅展示了数学的美妙和深奥，还让人们了解到数学家们的创新思维和勇气。

数学中有很多让人拍案叫绝的证明过程，以下是一些著名的例子：

1. 费马大定理的证明：费马大定理是一条三百年难题，20世纪才被安德鲁·怀尔斯用菊地秀行的方法证明。

2. 柯西-施瓦茨不等式的证明：这个不等式在数学中应用广泛，它的证明方式既优美又简单。

3. 康威的生命游戏的证明：康威提出了一种名为“生命游戏”的规则，推导出一些有趣的性质，这个证明过程涉及到许多组合数学和图论的知识。

4. 斯特林数的证明：斯特林数是数学中的一组数列，它们有着非常重要的组合意义。这个证明过程需要运用到生成函数、递推关系等数学方法。

5. 庞加莱猜想的证明：这个猜想是数学中一个非常重要的问题，其证明涉及到了拓扑学和微积分等多个数学领域。最终的证明由格里戈里·佩雷尔曼完成，他也因此获得了菲尔兹奖。

在我看来最神奇的莫过于此。一个看似神奇而证明极为简单而巧妙的定理。

定理(Kirszbraun)设 是一个度量空间，则定义在 任何子集上的Lipschitz实函数，都能被延拓到整个 上，且保持函数的Lipschitz常数不变。

这个定理的神奇之处在于函数的定义仅在一个子集上，如果学过泛函的人一定知道延拓这件事并不是无条件的。

而这个定理告诉我们，Lipschitz函数性质是如此之好，以至于它在任何子集上的的任何延拓，都可以是无条件的。我们先假设 是定义在任意一个子集 上的Lipschitz函数，其Lipshitz常数 ，这个定理的证明只有一行字：

证明：令 ， 是Lipschitz函数且Lipschitz常数为 ，证毕

。

Kirszbraun就借着这一行字，拿到了他的硕士学位。

1.欧拉的流氓证明法

在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。

2.最受数学家喜爱的无字证明

1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。

《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过 这个问题 。同时它还是死理性派logo的出处。