求高中线线、线面面面平行、垂直判定定理，谢谢～

面面垂直的判定定理是什么？

　　面面垂直的判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。 　　面面垂直的判定定理 　　1、在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。 　　2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，则面面垂直。 　　3、如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。 　 　面面垂直的证明方法 　　1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90deg;，那么这两个平面垂直。 　　2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 　　3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。 　　4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。

2023-11-23 08:06:251

面面垂直的判定定理有哪些？

面面垂直的定理一共有四条，定理如下：1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。求解定理为，已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP?α。求证：OP⊥β。2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。求解定理为，已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：AB?α。3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。求解定理为，已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ。4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）求解定理为，已知α⊥β，a⊥β，a?α。求证a∥α。面面垂直的性质定理的推论为：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。可以根据定理4先证明一个平面的垂线平行于另一个平面，再根据线面平行的性质证明这条直线与另一个平面的垂线垂直。面面垂直的判定定理如下：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。几何描述：若a⊥β，a?α，则α⊥β证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵a?α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。

2023-11-23 08:06:331

面面垂直的判定定理

在平面几何中，当两条直线的斜率乘积为-1时，这两条直线互相垂直。这个性质被称为面面垂直的判定定理。一、垂直斜率定理（面面垂直的判定定理）垂直斜率定理是平面几何中一个关于直线垂直性质的重要定理，也是解决与垂直有关问题的基础。它通过直线的斜率判断两条直线是否垂直。二、垂直斜率定理的表述设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则L1与L2垂直的充要条件是k1*k2=-1。垂直斜率定理的证明可以采用向量法。设直线L1过点A(x1,y1)，L2过点B(x2,y2)。则L1的斜率为k1=(y2-y1)/(x2-x1)，L2的斜率为k2=(y2-y1)/(x2-x1)。因为L1与L2是垂直的，所以L1与L2的斜率乘积等于-1，即k1*k2=-1。将k1和k2带入此等式，得到(y2-y1)^2/(x2-x1)^2=-1。由此可得，(y2-y1)^2=-(x2-x1)^2。因为平方数不可能为负数。所以-(x2-x1)^2不能小于0，也就是说，x2-x1≠0。因此，垂直斜率定理得证。三、垂直斜率定理的应用举例已知直线L1的斜率为k，过点P(x,y)作直线L2与L1垂直。根据垂直斜率定理，L1和L2的斜率乘积为-1，即k*k2=-1。解此方程可以求得L2的斜率k2，进而可以得到L2的方程。判断三角形是否垂直在三角形ABC中，若两条边AB和BC垂直，那么按照垂直斜率定理。斜率k1=(y2-y1)/(x2- x1)，斜率k2=(y3-y2)/(x3-x2)，斜率k3=(y1-y3)/(x1-x3)满足k1*k2=-1，k2*k3=-1，k3*k1=1的关系。根据这一定理，可以判断三角形ABC是否是一个直角三角形。四、总结垂直斜率定理是平面几何中关于直线垂直性质的重要定理。通过计算直线的斜率乘积是否等于-1，我们可以判断两条直线是否垂直。这个定理在解决与垂直有关的问题中具有广泛的应用，如求垂线方程、判断三角形是否垂直等。

2023-11-23 08:06:471

面面垂直的判定方法

面面垂直的判定方法如下：1、在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，则面面垂直。3、如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。面面垂直的证明方法：1、利用直角三角形中两锐角互余证明。由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。2、勾股定理逆定理。3、圆周角定理的推论。直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。4、三垂线定理。在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。立体几何的平行关系与垂直关系的证明：一、平行关系。1、线线平行。在同一平面内无公共点的两条直线平行；公理4（平行公理）；线面平行的性质。4.面面平行的性质；垂直于同一平面的两条直线平行。2、线面平行。直线与平面无公共点；平面外的一条直线与平面内的一条直线平行；两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。3、面面平行。两个平面无公共点；一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。二、垂直关系。1、线线垂直。直线所成角为90°；一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。2、线面垂直。一条直线与一个平面内的任一直线垂直；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直；面面垂直的性质；两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直；一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

2023-11-23 08:07:261

面面垂直的判定定理

判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。推论：1、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。2、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直） 面面垂直性质定理 1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点，向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。 3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。 面面垂直定理证明 证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β ∵au2282α，P∈a ∴P∈α 即α和β有公共点P，因此α与β相交。 设α∩β=b，∵P是α和β的公共点 ∴P∈b 过P在β内作c⊥b ∵bu2282β，a⊥β ∴a⊥b，垂足为P 又c⊥b，垂足为P ∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角 ∵cu2282β ∴a⊥c，即∠aPc=90° 根据面面垂直的定义，α⊥β

2023-11-23 08:07:551

面面垂直判定定理

面面垂直判定定理如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。判断一个平面是否垂直的方法有多种，如定义法：如果一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面，那么这两个平面垂直。定理法：如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，且这条直线垂直于另一个平面内的任何一条直线，那么这两个平面垂直。反证法：如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，且这条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面垂直。平行线法：如果一个平面内有一条直线平行于另一个平面，且这条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面垂直。垂线法：如果一个平面内有一条垂线垂直于另一个平面，且这条垂线垂直于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面垂直。需要注意的是，在判断一个平面是否垂直时，需要综合考虑以上方法，结合具体情况进行分析。同时，需要注意定理的应用条件和适用范围，避免出现错误判断。两条直线互相垂直的性质：1、如果两条直线互相垂直，那么它们所在的平面也互相垂直。2、如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线。3、如果一个平面垂直于另一个平面，那么这个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面。4、这些性质可以用来证明两条直线互相垂直，也可以用来判断一个平面是否垂直于另一个平面。

2023-11-23 08:08:051

面面垂直性质定理

面面垂直性质定理如下：性质：若两平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一平面；若两平面垂直，则与一个平面垂直的直线平行于另一平面或在另一平面内。其判定定理是：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直。即一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。面面垂直的判定定理如下：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。垂直的性质是如下：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。垂直是指一条线与另一条线相交并成直角，这两条直线互相垂直。通常用符号“⊥”表示。对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相关的问题，其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解；两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解。

2023-11-23 08:08:261

面面垂直判定定理

面面垂直判定定理是初中时期学习几何学的一项基础定理，也称为“垂线定理”。它表明，如果两条直线相交，且其中一条直线上有一条垂线与另一条直线相交，那么这两条直线就互相垂直。这个定理在解决几何问题的过程中非常常用，它可以帮助我们确定各种角度和方向之间的关系。下面我会对相关扩展内容和解释进行更详细的阐述。1. 垂线的性质除了表明两条直线相互垂直之外，垂线还具有其他特殊的性质。例如，一条直线与一个平面垂直，如果该直线上有一个定点，则该定点到平面的距离是该点到直线的距离中最短的。这个性质在解决三角形问题时经常被用到。2. 垂线的作用垂线可以帮助我们计算出某些图形的大小或位置关系。例如，在解决三角形问题时，如果能够找到三角形某个角的垂线，那么就可以利用面面垂直判定定理求出该角的大小。此外，在测量直线之间的距离时，垂线也能起到重要的作用。3. 垂线的应用垂线不仅在几何学中有广泛的应用，而且还涉及到许多其他领域。例如，在物理学中，垂线可以帮助我们计算出物体所受的重力以及各种角度和方向之间的关系；在工程学中，垂线也经常被用来测量和定位建筑、道路和其他结构物等等。总之，面面垂直判定定理是初中阶段学习几何学的一项基础知识，具有广泛的应用价值。掌握这个定理对于理解几何学的其他概念和解决实际问题非常有帮助。

2023-11-23 08:08:491

面面垂直的性质定理是什么？

1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。推论1：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。"/>

2023-11-23 08:09:232

证明面面垂直的判定定理

判定定理：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直。即一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。面面垂直的性质定理在一个面中做一条垂直于两面交线的直线，则这条直线垂直于另一个面。

2023-11-23 08:09:322

面面垂直的性质定理和判定定理

关于面面垂直的性质定理和判定定理如下：面面垂直。 判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。几何描述：若a⊥β，au2282α，则α⊥β证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵au2282α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。设α∩β=b，∵P是α和β的公共点∴P∈b过P在β内作c⊥b∵bu2282β，a⊥β∴a⊥b，垂足为P又c⊥b，垂足为P∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵cu2282β∴a⊥c，即∠aPc=90°根据面面垂直的定义，α⊥β如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。已知α⊥a，a∥β，求证α⊥β证明：过a任意作一个平面γ与β相交，设交线为c∵a∥β∴a∥c（线面平行的性质定理）∵a⊥α∴c⊥α（线面垂直的性质定理）∵cu2282β∴β⊥α（定理1）如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）证明：设有a⊥α，b⊥β，且a⊥b则根据线面平行的判定定理，有a∥β∵a⊥α∴α⊥β（推论1）这些定理和推论都是向量法解题的基础，例如向量法解得一个平面的法向量与另一个平面平行，那么这两个平面就垂直。性质定理定理1如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OPu2282α。求证：OP⊥β。证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。∵α⊥β∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ∵OP⊥l，l∩OQ=O，lu2282β，OQu2282β∴OP⊥β

2023-11-23 08:09:401

线面垂直面面垂直判定和性质定理，要原话！

线线垂直判定定理如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直线面垂直判定定理⑴定义(反证法);⑵判定定理:⑶b⊥α,a∥功场哆渡馨盗鹅醛珐互ba⊥α;（线面垂直性质定理）⑷α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）;⑸α⊥β，α∩β=l，a⊥l，aβa⊥α（面面垂直性质定理）面面垂直判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直，面面垂直）

2023-11-23 08:11:123

直线与平面垂直的判定定理是什么？

判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。设有一直线l与面S上两条相交直线AB、CD都垂直，则l⊥面S假设l不垂直于面S，则要么l∥S，要么斜交于S且夹角不等于90。当l∥S时，则l不可能与AB和CD都垂直。这是因为当l⊥AB时，过l任意作一个平面R与S交于m，则由线面平行的性质可知m∥l∴m⊥AB又∵l⊥CD∴m⊥CD∴AB∥CD，与已知条件矛盾。当l斜交S时，过交点在S内作一直线n⊥l，则n和l构成一个新的平面T，且T和S斜交（若T⊥S，则n是两平面交线。由面面垂直的性质可知l⊥S，与l斜交S矛盾）。∵l⊥AB∴AB∥n∵l⊥CD∴CD∥n∴AB∥CD，与已知条件矛盾。综上，l⊥S扩展资料性质：已知平面α和一点P，求证过P垂直于α的直线有且只有一条。当P在平面外时，假设过P有两条直线m、n都与α垂直，不妨设垂足为M、N。由于m∩n=P，那么m和n确定一个平面β。不难证明α∩β=MN。∵m⊥α，n⊥α∴m⊥MN，n⊥MN。这样一来，在β内就有PM、PN与MN都垂直，与平面内的垂线公理（其实是定理，因为可以依靠欧式几何的公理证明）矛盾。类似地可证明当P在平面上时也能推出矛盾。参考资料来源：百度百科-线面垂直

2023-11-23 08:11:191

线面垂直的判定

线面垂直的判定定理和性质定理：1、线面垂直判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。注意关键词“相交”，如果是平行直线，则无法判定线面垂直。2、线面垂直性质定理：（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。（2）经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。（3）如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。（4）垂直于同一平面的两条直线平行。（5）推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）线面垂直的判定方法：1.线面垂直的判定定理:直线与平面内的两相交直线垂直。2.面面垂直的性质:若两平面垂直则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面。3.线面垂直的性质:两平行线中有一条与平面垂直,则另一条也与平面垂直。4.面面平行的性质:一线垂直于二平行平面之一,则必垂直于另一平面。5.定义法:直线与平面内任一直线垂直。

2023-11-23 08:11:401

证明线面垂直有几种方法？

5种。1、线面垂直的判定定理：直线与平面内的两相交直线垂直。2、面面垂直的性质：若两平面垂直则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面。3、线面垂直的性质：两平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直。4、面面平行的性质：一线垂直于二平行平面之一，则必垂直于另一平面。5、定义法：直线与平面内任一直线垂直。如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，就说这条直线与此平面互相垂直。是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。扩展资料：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）过空间内一点（无论是否在已知平面上），有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线。因为是同一个面内，所以一定能做出来。然后，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。直线与平面垂直的判定定理(线面垂直定理):一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。已知m∥n，m⊥α，求证n⊥α。证明：设m∩α=M，n∩α=N。再在m、n上分别另取P、Q。∵m∥n∴设m与n确定平面β，且α∩β=MN过N在α内作AB⊥MN，连接PN。∵PM⊥α，ABu2282α∴PM⊥AB∵PMu2282β，MNu2282β∴AB⊥β∵QNu2282β∴QN⊥AB~~~①又∵PM⊥α，MNu2282α∴PM⊥MN∵PM∥QN∴QN⊥MN~~~②∵MN∩AB=N，MNu2282α，ABu2282α∴QN⊥α参考资料来源：百度百科——线面垂直

2023-11-23 08:12:213

高中几何，面面垂直判定和性质有哪些

判定定理：1.如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面相互垂直；2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；3.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；性质定理：1.如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

2023-11-23 08:12:553

面面垂直怎么推出线面垂直？

任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线。因为是同一个面内，所以一定能做出来。因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。线面垂直：一条直线与平面内两条相交直线垂直。面面垂直：一条直线垂直于一个平面，则过该直线的平面垂直于那个平面。反证法设有一直线l与面S上两条相交直线AB、CD都垂直，则l⊥面S假设l不垂直于面S，则要么l∥S，要么斜交于S且夹角不等于90。当l∥S时，则l不可能与AB和CD都垂直。这是因为当l⊥AB时，过l任意作一个平面R与S交于m，则由线面平行的性质可知m∥l∴m⊥AB又∵l⊥CD∴m⊥CD∴AB∥CD，与已知条件矛盾。当l斜交S时，过交点在S内作一直线n⊥l，则n和l构成一个新的平面T，且T和S斜交（若T⊥S，则n是两平面交线。由面面垂直的性质可知l⊥S，与l斜交S矛盾）。∵l⊥AB∴AB∥n∵l⊥CD∴CD∥n∴AB∥CD，与已知条件矛盾。综上，l⊥S以上内容参考：百度百科-线面垂直

2023-11-23 08:13:064

线面垂直怎么证明

线面垂直的证明方法如下：1、利用定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。2、利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。3、利用面面垂直的性质：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，则这条直线与另一个平面垂直。4、空间向量法：即证明直线的向量与平面的法向量平行，就可以说明该直线与平面垂直。空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）过空间内一点（无论是否在已知平面上），有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线。因为是同一个面内，所以一定能做出来。然后，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。直线与平面垂直的判定定理（线面垂直定理）：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

2023-11-23 08:13:421

求高中线线、线面面面平行、垂直判定定理,

用字母表示直线和平面把,简单点.A=直线,B=平面 线线平行：A1平行于A2；线线垂直：A1垂直于A2 线面平行：A平行于B内的一条直线,且A不在B内；线面垂直：A垂直于B内的两条相交直线； 面面平行：B1内的两条相交直线平行于B2；面面垂直：一直线垂直于B1,且这条直线在B2内

2023-11-23 08:14:051

证明面面垂直四个方法

证明面面垂直四个方法是利用定义证明、利用面面垂直的判定定理证明、判定定理法、向量定理，若两个平面的二面角为直二面角（平面角是直角的二面角），则这两个平面互相垂直。 平面角由射线、点、射线构成，是从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形。平面角的大小定义为以两射线交点为圆心的圆被射线所截的弧长与半径之比。

2023-11-23 08:14:121

线面垂直怎么证明面面垂直

直线与平面垂直定义：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。判定定理如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。注意关键词“相交”，如果是平行直线，则无法判定线面垂直。需要相交的原因见下文。反证法设有一直线l与面S上两条相交直线AB、CD都垂直，则l⊥面S假设l不垂直于面S，则要么l∥S，要么斜交于S且夹角不等于90。当l∥S时，则l不可能与AB和CD都垂直。这是因为当l⊥AB时，过l任意作一个平面R与S交于m，则由线面平行的性质可知m∥l

2023-11-23 08:14:201

线面垂直有哪些判定定理？

判定定理：1、 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直。2、 如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直。3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面。4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。5、 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面。6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面。扩展资料相关证明：1、点在平面外设点P是平面α外的任意一点，求作一条直线PQ使PQ⊥α。作法：①在α内任意作一条直线l，并过P作PA⊥l，垂足为A。此时，若PA⊥α，则所需PQ已作出；若不是这样，②在α内过A作m⊥l。③过P作PQ⊥m，垂足为Q，则PQ是所求直线。证明：由作法可知，l⊥PA，l⊥QA∵PA∩QA=A∴l⊥平面PQA∴PQ⊥l又∵PQ⊥m，且m∩l=A，mu2282α，lu2282α∴PQ⊥α2、点在平面内设点P是平面α内的任意一点，求作一条直线PQ使PQ⊥α。作法：①过平面外一点A作AB⊥α，作法见上。②过P作PQ∥AB，PQ是所求直线。证明：由性质定理3可知，若作出了AB⊥α，PQ∥AB，那麼PQ⊥α。

2023-11-23 08:14:271

如何用面面垂直证明线面垂直

如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OPu2282α。求证：OP⊥β。证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。∵α⊥β∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ∵OP⊥l，l∩OQ=O，lu2282β，OQu2282β∴OP⊥β扩展资料：性质定理：性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）由性质定理2可知，过空间内一点（无论是否在已知平面上），有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。1、点在平面外：设点P是平面α外的任意一点，求作一条直线PQ使PQ⊥α。作法：①在α内任意作一条直线l，并过P作PA⊥l，垂足为A。此时，若PA⊥α，则所需PQ已作出；若不是这样，②在α内过A作m⊥l。③过P作PQ⊥m，垂足为Q，则PQ是所求直线。证明：由作法可知，l⊥PA，l⊥QA∵PA∩QA=A∴l⊥平面PQA∴PQ⊥l又∵PQ⊥m，且m∩l=A，mu2282α，lu2282α∴PQ⊥α2、点在平面内：设点P是平面α内的任意一点，求作一条直线PQ使PQ⊥α。作法：①过平面外一点A作AB⊥α，作法见上。②过P作PQ∥AB，PQ是所求直线。证明：由性质定理3可知，若作出了AB⊥α，PQ∥AB，那_PQ⊥α。参考资料来源：百度百科-面面垂直

2023-11-23 08:14:421

面面垂直的向量方法：证明这两个平面的法向量是______；面面垂直的判定定理：文字语言：______，符号语言

（1）面面垂直的向量方法是：证明这两个平面的法向量互相垂直，即法向量的数量积等于0；（2）面面垂直的判定定理中：文字语言是“一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直”，符号语言是“若l⊥β，l?α，则α⊥β”．故答案为：垂直的；一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直；若l⊥β，l?α，则α⊥β．

2023-11-23 08:15:011

如何判断面面垂直?

定义：若两个平面的二面角为直二面角，则面面垂直判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直性质定理：性质1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。性质2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。性质3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。性质4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。这个东西你没事的时候多做做题，无聊的时候看这墙角好好想想，回顾一下。

2023-11-23 08:15:202

线线，线面，面面平行判定定理和性质

1、平行线（线线平行）判定定理：在同一平面内，永不相交的两条直线叫平行线（线线平行）性质：不平行两条直线一定相交，平行用符号“∥”表示。在同一平面内，经过直线外一点，与直线平行的直线只有一条。2、线面平行判定定理：定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。性质：性质1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。性质：一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。3、面面平行判定定理：定理1：如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。定理2：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。定理3：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。性质：性质1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。性质2：两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。性质3：两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）扩展资料：线线平行的简单判定方法：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：1.同位角相等两直线平行在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：2.内错角相等两直线平行在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。也可以简单的说成：3.同旁内角互补两直线平行。参考资料来源：搜狗百科-平行线的判定参考资料来源：搜狗百科-线面平行参考资料来源：搜狗百科-面面平行

2023-11-23 08:15:304

面面垂直的判定5个条件

面面垂直的判定5个条件如下：平面的法线方向：通过平面上的三个点或一条直线和一个点来计算得到；法线向量的内积：当两个法线向量互相垂直时，它们的内积为0；夹角：两个平面之间的夹角为90度；线面垂直的性质：一条直线与一个平面内的任一直线垂直；面面垂直的性质：一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面相互垂直。除了上述五个条件，还有一些其他方法可以用来判断两个平面是否相互垂直：向量法。通过计算两个平面的法向量之间的内积来判断它们是否相互垂直。如果内积的值为0，则两个平面相互垂直；角度法：通过测量两个平面之间的角度来判断它们是否相互垂直。如果两个平面之间的角度为90度，则它们相互垂直；判定定理：如果通过平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则两个平面相互垂直。正交矩阵：如果两个平面的法向量都是正交矩阵，且它们的行列式值都为1或-1，则这两个平面相互垂直；向量代数：通过计算两个平面的法向量之间的叉积来判断它们是否相互垂直。如果叉积的结果为零向量，则两个平面相互垂直。这些方法可以相互结合使用，以便更准确地判断两个平面是否相互垂直。除了上述特殊情况，还有一些其他技巧可以帮助判断两个平面是否相互垂直：观察几何图形：观察两个平面所构成的几何图形，如果它们呈现出正交关系，则可以判断它们相互垂直。使用三角函数：通过计算两个平面法向量之间的点积或数量积，并使用三角函数计算出两个平面之间的角度，从而判断它们是否相互垂直。总之，判断两个平面是否相互垂直需要使用多种方法，并结合实际情况进行综合考虑。

2023-11-23 08:15:461

面面垂直的定义和判定

定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。判定：1、一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。2、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。3、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。 判定面面垂直的方法： 1、面面垂直的定义。 2、面面垂直的判定定理 在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，转化为线面垂直或线线垂直。 转化方法：在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理。 几个常用的结论： 1、过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直。 2、过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 解决此类问题常用的方法有：①依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形作出判断；②否定命题时只需举一个反例；③寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选。

2023-11-23 08:16:271

面面垂直如何证明

证明面面垂直的方法：1、定义法：如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，那么这两个平面相互垂直。在其中一个平面内任取一点，作这个点到另一个平面的垂线。如果垂线的长度是某个固定的正数，那么这两个平面相互垂直。2、定理法：如果一个平面内两条相交直线都垂直于另一个平面，那么这两个平面相互垂直。3、面面垂直的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线分别垂直于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面相互垂直。4、垂直平面的性质定理：如果一个平面垂直于另一个平面，那么这个平面内的所有直线都垂直于另一个平面。5、面面垂直的性质定理：如果两个平面相互垂直，那么其中一个平面内的所有直线都垂直于另一个平面。6、面面垂直的判定定理：如果一个平面内的所有直线都垂直于另一个平面，那么这两个平面相互垂直。证明题的做题技巧：1、仔细审题：读懂题目所给的条件和要证明的结论，弄清楚需要用到哪些定理、定义和公式。2、寻找突破口：根据题目所给的条件和结论，寻找能够解决问题的“线索”，通常是通过寻找与所证结论相关的定理或已知条件。3、严谨推理：在证明过程中，要注意使用严谨的逻辑推理，通常可以采用“由已知条件推出结论”的思路，逐步向结论推进。4、多次尝试：如果第一次尝试证明失败了，不要放弃，可以尝试其他不同的方法。可以试着改变证明方向或者重新组织思路。5、类比与归纳：如果类似的题目已经做过，可以类比着做，将已知条件和结论进行归纳总结。6、注意细节：在证明过程中要注意细节，比如数学符号的正确使用、图形的绘制、推理过程的完整性和语言表达的清晰度等。

2023-11-23 08:16:361

证明面面垂直的判定定理

判定定理：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直。即一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。面面垂直的性质定理在一个面中做一条垂直于两面交线的直线，则这条直线垂直于另一个面。

2023-11-23 08:17:052

面面垂直的性质定理符号表示___．

面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面． 符号表示：如果α⊥β，α∩β=l，au2282β，a⊥l，那么a⊥α． 故答案为：如果α⊥β，α∩β=l，au2282β，a⊥l，那么a⊥α．

2023-11-23 08:17:392

面面垂直的判定定理是什么？

共三个定理：1、在一个平面内做2条相交直线，另一个zhi平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 面面垂直。3、如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直。扩展资料一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。几何描述：若a⊥β，au2282α，则α⊥β证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵au2282α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。设α∩β=b，∵P是α和β的公共点∴P∈b过P在β内作c⊥b∵bu2282β，a⊥β∴a⊥b，垂足为P又c⊥b，垂足为P∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵cu2282β∴a⊥c，即∠aPc=90°根据面面垂直的定义，α⊥β

2023-11-23 08:18:001

面面垂直的判定定理是什么？

　　面面垂直的判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。 　　面面垂直的判定定理 　　1、在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。 　　2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，则面面垂直。 　　3、如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。 　 　面面垂直的证明方法 　　1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90deg;，那么这两个平面垂直。 　　2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 　　3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。 　　4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。

2023-11-23 08:18:091

怎么证面面垂直

面面垂直的定理一共有四条，定理如下：1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。求解定理为，已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP?α。求证：OP⊥β。2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。求解定理为，已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：AB?α。3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。求解定理为，已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ。4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）求解定理为，已知α⊥β，a⊥β，a?α。求证a∥α。面面垂直的性质定理的推论为：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。可以根据定理4先证明一个平面的垂线平行于另一个平面，再根据线面平行的性质证明这条直线与另一个平面的垂线垂直。面面垂直的判定定理如下：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。几何描述：若a⊥β，a?α，则α⊥β证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵a?α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。

2023-11-23 08:18:281

面面垂直的性质定理

面面垂直的性质定理一共有四条，定理如下：1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。求解定理为，已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OPu2282α。求证：OP⊥β。2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。求解定理为，已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：ABu2282α。3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。求解定理为，已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ。4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）求解定理为，已知α⊥β，a⊥β，au2209α。求证a∥α。面面垂直的性质定理的推论为：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这判唤两个平面的两条垂线也互相垂直。可以根据定理4先证明一个平面的垂线平行于另一个平面，再根据线面平行的性质证明这条直线与另一个平面的垂线垂直。扩展资料面面垂直的判定定理如下：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。几何描述：若a⊥β，au2282α，则α⊥β证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵au2282α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。设α∩β=b，∵P是α和含辩β的公共点∴P∈b过P在β内作c⊥b∵bu2282β，a⊥β∴掘老凯a⊥b，垂足为P又c⊥b，垂足为P∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵cu2282β∴a⊥c，即∠aPc=90°根据面面垂直的定义，α⊥β参考资料：百度百科—面面垂直

2023-11-23 08:18:421

证明面面垂直的判定定理

证明面面垂直的判定定理如下：定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。面面垂直：1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。几何描述：若a⊥β，au2282α，则α⊥β证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵au2282α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。设α∩β=b，∵P是α和β的公共点∴P∈b过P在β内作c⊥b∵bu2282β，a⊥β∴a⊥b，垂足为P又c⊥b，垂足为P∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵cu2282β∴a⊥c，即∠aPc=90°根据面面垂直的定义，α⊥β如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。已知α⊥a，a∥β，求证α⊥β证明：过a任意作一个平面γ与β相交，设交线为c∵a∥β∴a∥c（线面平行的性质定理）∵a⊥α∴c⊥α（线面垂直的性质定理）∵cu2282β∴β⊥α（定理1）如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）证明：设有a⊥α，b⊥β，且a⊥b则根据线面平行的判定定理，有a∥β∵a⊥α∴α⊥β（推论1）这些定理和推论都是向量法解题的基础，例如向量法解得一个平面的法向量与另一个平面平行，那么这两个平面就垂直。性质定理定理1如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OPu2282α。求证：OP⊥β。证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。∵α⊥β∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ∵OP⊥l，l∩OQ=O，lu2282β，OQu2282β∴OP⊥β

2023-11-23 08:18:561

面面垂直的性质定理是什么？

面面垂直的性质定理一共有四条，定理如下：1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。求解定理为，已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OPu2282α。求证：OP⊥β。2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。求解定理为，已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：ABu2282α。3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。求解定理为，已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ。4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）求解定理为，已知α⊥β，a⊥β，au2209α。求证a∥α。面面垂直的性质定理的推论为：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。可以根据定理4先证明一个平面的垂线平行于另一个平面，再根据线面平行的性质证明这条直线与另一个平面的垂线垂直。扩展资料面面垂直的判定定理如下：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。几何描述：若a⊥β，au2282α，则α⊥β证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵au2282α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。设α∩β=b，∵P是α和β的公共点∴P∈b过P在β内作c⊥b∵bu2282β，a⊥β∴a⊥b，垂足为P又c⊥b，垂足为P∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵cu2282β∴a⊥c，即∠aPc=90°根据面面垂直的定义，α⊥β参考资料：百度百科—面面垂直

2023-11-23 08:19:444

面面垂直的判定定理

共三个定理：1.在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。2.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。面面垂直。3.如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直。

2023-11-23 08:20:422

面面垂直的判定定理

定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。定理一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。几何描述：若a⊥β，au2282α，则α⊥β请点击输入图片描述（最多18字）证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵au2282α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。设α∩β=b，∵P是α和β的公共点∴P∈b过P在β内作c⊥b∵bu2282β，a⊥β∴a⊥b，垂足为P又c⊥b，垂足为P∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵cu2282β∴a⊥c，即∠aPc=90°根据面面垂直的定义，α⊥β推论1如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。已知α⊥a，a∥β，求证α⊥β证明：过a任意作一个平面γ与β相交，设交线为c∵a∥β∴a∥c（线面平行的性质定理）∵a⊥α∴c⊥α（线面垂直的性质定理）∵cu2282β∴β⊥α（定理1）推论2如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）证明：设有a⊥α，b⊥β，且a⊥b则根据线面平行的判定定理，有a∥β∵a⊥α∴α⊥β（推论1）这些定理和推论都是向量法解题的基础，例如向量法解得一个平面的法向量与另一个平面平行，那么这两个平面就垂直。

2023-11-23 08:20:511

面面垂直条件

面面垂直性质定理如下：性质：若两平面垂直，则在一个平面内与交线垂直的直线垂直于另一平面；若两平面垂直，则与一个平面垂直的直线平行于另一平面或在另一平面内。其判定定理是：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直。即一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。面面垂直的判定定理如下：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。垂直的性质是如下：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。垂直一定会出现90°。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。垂直是指一条线与另一条线相交并成直角，这两条直线互相垂直。通常用符号“⊥”表示。对于立体几何中的垂直问题，主要涉及到线面垂直问题与面面垂直问题，而要解决相关的问题，其难点是线面垂直的定义及其对判定定理成立的条件的理解；两平面垂直的判定定理及其运用和对二面角有关概念的理解。

2023-11-23 08:21:031

面面垂直如何判断？

要判断一个面是否垂直，可以采取以下方法：1. 使用测量工具：使用角度度量工具，如角度标尺或直角仪，将其放置在面上，然后测量所得角度。如果角度接近于90度（垂直角），则可以判断该面是垂直的。2. 利用水平仪：将水平仪放在面上，确保其指示器平稳后观察。如果指示器显示为纵向的水平，那么可以确定面是垂直的。3. 利用自然标志：有些情况下，我们可以根据自然标志来判断一个面是否垂直。例如，在室外，我们可以根据建筑物的竖直墙壁、树木的直立姿势等来判断面是否垂直。4. 通过观察投影：如果我们能够观察到面的投影，可以通过投影的形状来判断面是否垂直。例如，当面是垂直的时候，其投影将呈现出一个垂直的线条。请注意，以上方法仅适用于一般情况下的垂直判断。在特殊情况下，可能需要采用更精确的测量方法，如使用测距仪或激光仪器进行精确测量。希望以上回答对您有帮助！

2023-11-23 08:21:522

面面垂直的定理

若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。性质定理1.如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2.如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。3.如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。4.如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。(判定定理推论1的逆定理)

2023-11-23 08:22:351

如何证明面面垂直？

定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直。定理一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。几何描述:若a⊥β，au2282α，则α⊥β证明:任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵au2282α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。设α∩β=b，∵P是α和β的公共点∴P∈b过P在β内作c⊥b∵bu2282β，a⊥β∴a⊥b，垂足为P又c⊥b，垂足为P∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵cu2282β∴a⊥c，即∠aPc=90°根据面面垂直的定义，α⊥β推论1如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。已知α⊥a，a∥β，求证α⊥β证明:过a任意作一个平面γ与β相交，设交线为c∵a∥β∴a∥c(线面平行的性质定理)∵a⊥α∴c⊥α(线面垂直的性质定理)∵cu2282β∴β⊥α(定理1)推论2如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。(可理解为法向量垂直的平面互相垂直)证明:设有a⊥α，b⊥β，且a⊥b则根据线面平行的判定定理，有a∥β∵a⊥α∴α⊥β(推论1)这些定理和推论都是向量法解题的基础，例如向量法解得一个平面的法向量与另一个平面平行，那么这两个平面就垂直。三个两两垂直的平面的交线两两垂直。已知:α⊥β，β⊥γ，γ⊥α，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c求证:a⊥b，a⊥c，b⊥c证明:∵α∩β=a，α⊥γ，β⊥γ∴a⊥γ(定理3)∵bu2282γ，cu2282γ∴a⊥b，a⊥c同理可证b⊥c

2023-11-23 08:22:564

面面垂直的判定

　　面面垂直的判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。 　　面面垂直的判定定理 　　1、在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。 　　2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，则面面垂直。 　　3、如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。 　 　面面垂直的证明方法 　　1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂直。 　　2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 　　3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。 　　4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。

2023-11-23 08:23:571

怎么证面面垂直

面面垂直的证明方法如下：面面垂直判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。推论1：如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。推论2：如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。面面垂直性质定理定理1：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。定理2：如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。推论：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。定理4：如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。推论：如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。

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线面垂直的判定定理和性质定理

线面垂直的判定定理和性质定理：1、线面垂直判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。注意关键词“相交”，如果是平行直线，则无法判定线面垂直。2、线面垂直性质定理：（1）如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。（2）经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。（3）如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。（4）垂直于同一平面的两条直线平行。（5）推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。）线面垂直的判定方法：1.线面垂直的判定定理:直线与平面内的两相交直线垂直。2.面面垂直的性质:若两平面垂直则在一面内垂直于交线的直线必垂直于另一平面。3.线面垂直的性质:两平行线中有一条与平面垂直,则另一条也与平面垂直。4.面面平行的性质:一线垂直于二平行平面之一,则必垂直于另一平面。5.定义法:直线与平面内任一直线垂直。

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面面垂直的性质定理

面面垂直的性质定理一共有四条，定理如下：1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。求解定理为，已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OPu2282α。求证：OP⊥β。2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。求解定理为，已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：ABu2282α。3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。求解定理为，已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ。4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）求解定理为，已知α⊥β，a⊥β，au2209α。求证a∥α。面面垂直的性质定理的推论为：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。可以根据定理4先证明一个平面的垂线平行于另一个平面，再根据线面平行的性质证明这条直线与另一个平面的垂线垂直。以上内容参考百度百科—面面垂直

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面面垂直的性质定理

面面垂直的性质定理如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OPu2282α。求证：OP⊥β。证明：过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。∵α⊥β∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ∵OP⊥l，l∩OQ=O，lu2282β，OQu2282β∴OP⊥β面面垂直的判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。几何描述：若a⊥β，au2282α，则α⊥β证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵au2282α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。设α∩β=b，∵P是α和β的公共点∴P∈b过P在β内作c⊥b∵bu2282β，a⊥β∴a⊥b，垂足为P又c⊥b，垂足为P∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵cu2282β∴a⊥c，即∠aPc=90°根据面面垂直的定义，α⊥β如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。已知α⊥a，a∥β，求证α⊥β证明：过a任意作一个平面γ与β相交，设交线为c∵a∥β∴a∥c（线面平行的性质定理）∵a⊥α∴c⊥α（线面垂直的性质定理）∵cu2282β∴β⊥α（定理1）如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）证明：设有a⊥α，b⊥β，且a⊥b则根据线面平行的判定定理，有a∥β∵a⊥α∴α⊥β（推论1）这些定理和推论都是向量法解题的基础，例如向量法解得一个平面的法向量与另一个平面平行，那么这两个平面就垂直。

2023-11-23 08:25:011

怎样才能判定面面垂直

　　面面垂直的判定定理：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。 　　面面垂直的判定定理 　　1、在一个平面内做2条相交直线，另一个平面内有一条直线垂直于这两条相交直线，则面面垂直。 　　2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，则面面垂直。 　　3、如果一个平面经过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。 　 　面面垂直的证明方法 　　1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90deg;，那么这两个平面垂直。 　　2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 　　3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。 　　4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。

2023-11-23 08:25:221

面面垂直的性质定理有哪些?

面面垂直的定理一共有四条，定理如下：1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。求解定理为，已知：α⊥β，α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP?α。求证：OP⊥β。2、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。求解定理为，已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。求证：AB?α。3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。求解定理为，已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l。求证：l⊥γ。4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）求解定理为，已知α⊥β，a⊥β，a?α。求证a∥α。面面垂直的性质定理的推论为：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。可以根据定理4先证明一个平面的垂线平行于另一个平面，再根据线面平行的性质证明这条直线与另一个平面的垂线垂直。面面垂直的判定定理如下：一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直。几何描述：若a⊥β，a?α，则α⊥β证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵a?α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。

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