span出来的集合是闭集

在数学中span的意思就是扩张空间。即向量张成的线性空间，比如span（v_1,v_2)表示向量v_1与v_2张成的线性空间。span里面的元素包含足够多的不线性相关的元素，并且这些元素可以成为V的basis（基）。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。扩展资料：线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。参考资料来源：百度百科-线性代数参考资料来源：百度百科-SPAN

span 意思：扩张空间。例：S为一向量空间V（附于体F）的子集合。所有S的线性组合构成的集合，称为S所张成的空间，记作span(S)。拓展资料：线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。参考资料：线性代数 百度百科

扩张空间。S为一向量空间V（附于体F）的子集合。所有S的线性组合构成的集合，称为S所张成的空间，记作span(S)。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。扩展资料：线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。参考资料来源：百度百科-线性代数

向量张成的线性空间。比如span（v_1,v_2)表示向量v_1与v_2张成的线性空间。第二问的解法：向量b是否在那三个向量张成的线性空间里。简单说就是向量b能不能用u, v, w的线性组合来表示。题目既然那样问，那应该就是有解，这个方程组我不信你不会算。4维空间的基有4个向量，这4个向量互相是不能线性表出的，即：f不在u, v, w张成的线性空间里，它们线性无关。其实变着法子说都是一样的：u不在span{f, v, w}里；v不在span{u, f, w}里；w不在span{u, v, f}里。等价于无解。线性代数的含义：线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

span 扩张空间例：S为一向量空间V（附于体F）的子集合。所有S的线性组合构成的集合，称为S所张成的空间，记作span(S)。

如果S是一个集合，span(S)表示由S中的元素张成的向量空间

就是扩张的意思 比如整数集合上有除法 但是两个数相除不一定是整数所以 所以就把除法的结果添加到整数集合中就成了对整数集合的扩张。 一些向量的集合也是这样 因为有线性运算的结构 这些集合中的向量经过线性运算后的结果不一定在中，所以就把这些不在集合中运算结果都添加到集合中 因为运算是线性的所以就是线性扩张

span(A) 就是由A的列向量张成的子空间

span<u1>表示u1张成的线形空间,span<u1,u2>表示u1,u2张成的线形空间。两者相等，说明u2张成的线形空间全在u1之内。u1和u2的关系是什么？答：线形相关。

一样的L强调线性，是后面向量线性生成的空间

我试着解答下：1，span（0）就是0向量所张成的空间，只有0元素，也就是说n维欧几里得空间的原点；2，一个向量空间必然包含本身和空集作为子集，这两个都是平凡子集。从集合的角度考察， 理解起来应该不难的。3. 当V为空集的时候，如同2所回答的一样，这时候它仅包含自身为子集，且是平凡子集；4，当V=0，规范的写法，0应该用圆括号的，因为是集合。 参考2的解答，此时V包含两个子集，且都 是平凡的。如果哪里不合适，咱们继续交流，我也学习中。

你好！答案是R^3，可以利用线性关系如图分析。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

1、首先span:全部列向量的线性组合构成的集合。2、其次span（A）=R(A) 。3、最后生成子空间=矩阵A的列空间（非齐次线性方程组y=Ax的值域）。

当V=S={0}时u是唯一的如果你想问什么时候ai由u唯一确定，那么条件是当且仅当S是V的基如果S中的元素线性相关，展开式的系数肯定不唯一一个简单的例子，S={1,-1}, V是实数集，取u=2，那么u=2*1+0*(-1)=3*1+1*(-1)=...有无穷多种表示

span的维数就是它的秩，秩为2所以它的几何解释就是空间中一个平面

对{a1,a2,a3,a4,a5}进行行初等变换得到如下矩阵1 1 2 2 10 2 1 5 -10 0 0 0 00 0 -2 2 -2可知A的秩为3，且a1，a2，a3是它的一个最大无关组所以R（A）=span（a1，a2，a3）a1,a2,a3就是它的一个最大无关组经计算a4=a1+3a2-a3;a5=-a2+a3最后一问只要将上面初等变换的矩阵前三列经过行变换得到单位阵，右边的两列就是所求的系数

×是集合与集合的一种运算，称为笛卡尔积，A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}。二维向量空间R^2可看作R×R，R^3,...,R^n也都可以这样理解，其中R^2，R^3从几何上理解会更直白些，代表平面坐标系与空间坐标系。M={(x1,t2)|x1∈V1}是V1×V2的一个子集，也是向量空间

你的回答想法是对的，回答起来有点笼统，没有反证的明确反证假如{v1,v2,v3,v4}是线性相关集，则存在不全为0的k1、k2、k3、k4，使得k1v1+k2v2+k3v3+k4v4=0可知k4不为0，（这是因为如果k4是0，则k1v1+k2v2+k3v3=0，且{v1,v2,v3}是线性无关集，则k1、k2、k3均为0，这与k1、k2、k3、k4不全为0的条件不符）所以v4=-（k1v1+k2v2+k3v3）/k4,即v4能被v1,v2,v3线性表出，这与v4不在span{v1,v2,v3}里矛盾。所以集合{v1,v2,v3,v4}是线性无关集

掌握正确思路就好了题目中涉及A和A*及相应方程组, 需联想到的知识点:1. AA*=A*A=|A|E2. r(A*) = n, 当 r(A)=n r(A*) = 1, 当 r(A)=n-1 r(A*) = 0, 当 r(A)<n-1解: 因为AX=0的基础解系是(1,0,-2,0)^T所以 r(A) = 4-1 = 3所以 r(A*) = 1.所以 A*X=0 的基础解系含 4-1=3 个解向量.所以只能选择(C)或(D).--不必考虑 因为A*A=0故A的列向量都是A*X=0的解--只要考虑C,D两组哪组是线性无关的由于 (1,0,-2,0)^T 是AX=0的解所以 a1-2a3=0故 (C)中 a1,a2,a3 线性相关.故 (D) 正确.

不知道做得对不对β"α=α"β=0A=αβ"，A^2=αβ"αβ"=0设x！=0为A的特征向量，k为对应特征值，那么0=A^2x=k^2x，k=0故A的特征值均为0rank(A)=rank(αβ")=rank(b1α,…,bnα)=1Ax=0有n-1个线性无关解x1,…,x(n-1)A的对应于特征值0的特征向量为c1x1+…+c(n-1)x(n-1)关于xi,i=1,…,n-1的一种构造由β出发可以构造R^n的一组正交基β，r1,…,r(n-1)取xi=ri,i=1,…,n-1即可

（2）A的Hermite矩阵记做H为1 0 2 10 2 3 40 0 0 00 0 0 0容易看到r(A)=2,第一列和第二列是一组极大线性无关组，所以imT=span{(1,-1,1,2)^T,(0,2,2,-2)^T}因为AX=0与HX=0同解，求解方程HX=0得到基础解系x1=(4,3,-2,0)T,x2=(1,2,0,-1)T,故N(T)=span{x1,x2}(3)设y=(y1,y2,y3,y4)T,解方程(y,x1)=(y,x2)=0即可得到一组基础解系a1=(-3,4,0,5)^T,a2=(4,-2,5,0)^T,所以{x1,x2,a1,a2}为一组基（4）类似（3）可得{(1,-1,1,2)^T,(0,2,2,-2)^T,(2,1,-1,0)^T,(1,-1,0,-1)^T}为扩充后的基其实，第一题计算比较啰嗦，呵呵……

last two are correct1）countexample: if it is a zero vector, unable to span2) counterexample: vectors（1,1）（2,2）are distinct, but can not span to R^23) linear combination of u, u+v and u+v+w iff linear combination of u,v, and w, therefore, correct4)omit5)thest two vectors are linearly independent, hence spans R^2

在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），在数学中与之相对应的是数量，在物理中与之相对应的是标量。

又称为JBOD模式（这是标准的叫法）。就是在逻辑上将几个物理磁盘连起来， 看起来像一个大的逻辑磁盘。它不提供容错，该阵列的容量等于组成Span的所有磁盘的容量的总和。其实就是简单的硬盘容量叠加，严格的说，这个模式跟RAID（独立冗余磁盘阵列）不同。系统处理时不采用并行的方式，写入数据的时候就是先写的一块硬盘，写满了再写第二块硬盘……

w1 = (0,0,1), w2 = (0,1,0), w3=(1,0,0)v1 = (1,1,1), v2=(2,2,2), v3=(3,3,3)显然两者不等

在线性代数中，"span"表示由一个向量集合生成的所有线性组合的集合。换句话说，给定向量集合V，它们的span就是由这些向量的所有线性组合构成的集合。形式化地说，设向量集合V={v1, v2, ..., vn}，其中每个向量vi都属于n维向量空间R^n。那么V的span记为Span(V)，它包含所有满足以下形式的向量：Span(V) = {a1*v1 + a2*v2 + ... + an*vn | a1, a2, ..., an ∈ R}其中a1, a2, ..., an是实数，表示向量v1, v2, ..., vn的系数。换句话说，Span(V)包含了V中所有向量的线性组合，也就是通过对V中向量进行缩放和相加得到的所有向量。这样，Span(V)形成了一个由V中向量张成的子空间。

在数学中span的意思就是扩张空间。即向量张成的线性空间，比如span（v_1,v_2)表示向量v_1与v_2张成的线性空间。span里面的元素包含足够多的不线性相关的元素，并且这些元素可以成为V的basis（基）。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。扩展资料：线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。参考资料来源：百度百科-线性代数参考资料来源：百度百科-SPAN

向量v1，v2，.... ，vn的所有线性组合构成的集合称为v1，v2，... ，vn的向量空间向量v1，v2，...vn的向量空间记为Span{v1，v2，... ，vn}比如在三维线性空间中向量α=(a1,a2,a3)可由向量组αu2081=(1,0,0),αu2082=(0,1,0),αu2081=(0,0,1)线性表出:α=au2081αu2081+au2082αu2082+au2083αu2083

张成子空间，或者叫生成子空间。参考资料：数学中的spanDefinition: Let V be a vector space over a field F, and X a non-empty subset of V. The span of the subset X is the setSpan{X} ={t∑(i=1) ai*vi| all ai ∈ F, vi ∈ X, t ∈ N}.向量v1，v2，.... ，vn的所有线性组合构成的集合，称为v1，v2，... ，vn的张成（span）。向量v1，v2，...vn的张成记为Span{v1，v2，... ，vn}。If v1,…,vp are in Rn,then the set of all linear combinations of v1,…,vp is denoted by Span{v1,…,vp} and is called the subset of Rn spanned(or generated) by v1,…,vp.

在数学中span的意思就是扩张空间。即向量张成的线性空间，比如span（v_1,v_2)表示向量v_1与v_2张成的线性空间。span里面的元素包含足够多的不线性相关的元素，并且这些元素可以成为V的basis（基）。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。扩展资料：线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。参考资料来源：百度百科-线性代数参考资料来源：百度百科-SPAN

在数学中span的意思就是扩张空间。即向量张成的线性空间，比如span（v_1,v_2)表示向量v_1与v_2张成的线性空间。span里面的元素包含足够多的不线性相关的元素，并且这些元素可以成为V的basis（基）。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。扩展资料：线性代数作为一个独立的分支在20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。“鸡兔同笼”问题实际上就是一个简单的线性方程组求解的问题。现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维线性空间的过渡。随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。参考资料来源：百度百科-线性代数参考资料来源：百度百科-SPAN

span 意思：扩张空间。例：S为一向量空间V（附于体F）的子集合。所有S的线性组合构成的集合，称为S所张成的空间，记作span(S)。拓展资料：线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。参考资料：线性代数 百度百科

扩展，例如span x是x扩张成的线性空间

span(a1,a2...an)表示由a1,a2,...an生成的线性空间

subspace 子空间span后面都会跟一组向量，所以span(v1,...,vn) 是由向量组(不必是一组基)(v1,...,vn)张成的子空间

span 意思：扩张空间。例：S为一向量空间V（附于体F）的子集合。所有S的线性组合构成的集合，称为S所张成的空间，记作span(S)。拓展资料：线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。参考资料：线性代数 百度百科

span 意思：扩张空间。例：S为一向量空间V（附于体F）的子集合。所有S的线性组合构成的集合，称为S所张成的空间，记作span(S)。拓展资料：线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。参考资料：线性代数 百度百科

span 意思：扩张空间。例：S为一向量空间V（附于体F）的子集合。所有S的线性组合构成的集合，称为S所张成的空间，记作span(S)。拓展资料：线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。参考资料：线性代数 百度百科

对{a1,a2,a3,a4,a5}进行行初等变换得到如下矩阵1 1 2 2 10 2 1 5 -10 0 0 0 00 0 -2 2 -2可知A的秩为3，且a1，a2，a3是它的一个最大无关组所以R（A）=span（a1，a2，a3）a1,a2,a3就是它的一个最大无关组经计算a4=a1+3a2-a3;a5=-a2+a3最后一问只要将上面初等变换的矩阵前三列经过行变换得到单位阵，右边的两列就是所求的系数

span 意思：扩张空间。例：S为一向量空间V（附于体F）的子集合。所有S的线性组合构成的集合，称为S所张成的空间，记作span(S)。拓展资料：线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。参考资料：线性代数 百度百科

1） {a1,a2,a3}当然只有3个向量，b不在其中2) r(A)=3满秩，W=R^3，包含所有3维向量，当然b肯定在其中3）这个题目有点怪异，既然W是有a1涨成的，必然也包括a1根据span的定义，任意W中向量满足w=c1 a1 + c2 a2 + c3 a3而当c1=1, c2=c3=0时，w=a1得证外国的代数题比国内的代数难度小了不少啊

向量空间的维数（也称为维数或者秩）是指该向量空间中线性无关向量的最大数量。计算向量空间的维数有以下几种方法：1. 基向量法：通过找到一组线性无关的基向量来计算维数。基向量是向量空间中的基本元素，可以通过基向量来表示向量空间中的任意向量。对于一个有限维向量空间，其基向量的数量就等于该向量空间的维数。找到一组基向量后，计算基向量之间的线性组合数量，这个数量就是向量空间的维数。2. 线性无关向量组法：通过找到一个最大的线性无关向量组来计算维数。线性无关向量组是指向量空间中的一组向量，它们之间不存在线性关系，也不能通过线性组合得到向量空间中的其他向量。找到一个最大的线性无关向量组，其向量数量就是向量空间的维数。3. 矩阵秩法：对于一个有限维向量空间，我们可以将其表示为一个矩阵。计算该矩阵的秩，秩就是向量空间的维数。这是因为矩阵的秩表示的是矩阵中线性无关行的最大数量，而向量空间的维数就是线性无关向量的最大数量。4. 行列式法：对于一个有限维向量空间，我们可以将其表示为一个矩阵。计算该矩阵的行列式，如果行列式值为0，则表示该向量空间存在一个线性相关向量，维数为该矩阵的行数或列数（取较小值）；如果行列式值不为0，则表示该向量空间中所有向量线性无关，维数为矩阵的行数或列数（取较大值）。需要注?，不同方法在计算向量空间维数时，结果可能会有差异。在实际应用中，通常使用基向量法或矩阵秩法来计算向量空间的维数。而在数学理论研究中，行列式法也经常被使用。

线性组合是一个线性代数中的概念，代表一些抽象的向量各自乘上一个标量后再相加。首先线性简单的说就量与量之间按比例、成直线的关系，线性传递意味着两个或多个线性系统的相乘。 线性代数的基本概念之一.设au2081,au2082,…,au2091(e≥1)是域P上线性空间V中的有限个向量.若V中向量a可以表示为：a=ku2081au2081+ku2082au2082+…+ku2091au2091(ku2091∈P,e=1,2,…,s),则称a是向量组au2081,au2082,…,au2091的一个线性组合,亦称a可由向量组au2081,au2082,…,au2091线性表示或线性表出.例如,在三维线性空间P3中,向量a=(au2081,au2082,au2083)可由向量组au2081=(1,0,0),au2082=(0,1,0),au2081=(0,0,1)线性表出:a=au2081au2081+au2082au2082+au2083au2083。 线性生成 S为域F上向量空间V的子集合。 所有S的有限线性组合构成的集合，称为S所生成的空间，记作span(S)。 任何S所生成的空间必有以下的性质： 1.是一个V的子空间（所以包含0向量） 2.几何上是直的，没有弯曲（即，任两个span(S)上的点连线延伸，所经过的点必也在span(S)上）

【向量组A是向量组B的极大线性无关组】这个概念的定义，本来就是下面这样：（1）A自己线性无关；（2）再往A里面添加一个B中的别的向量，得到的新组就线性相关了。现在令A＝｛α（1），…，α（r）｝，B＝｛α（1），…，α（r），β（1），…，β（s）｝，显然是符合这个定义的，结论当然就自己跑出来了。PS：我不知道你用的是什么课本，也许你的课本上，极大线性无关组并不是象上面那样定义的，所以这一题的结论，在那个定义之下并不是显然的，因而才需要证明。因此，希望你能说明一下你用的课本，我再去考证一下它里面是怎么定义“极大线性无关组”这个概念的，因为我用的课本就是象上面那样定义的，在我看来，题目里面明明已经自己说白了，还要别人去证，那就无法理解出题者到底要别人给他证什么了，根本已经没得证，只剩下“按定义显然”五个字了嘛！

维数计算方法都是一样的，不过两个题目表达的不是同一个意思。向量组span的空间维数是向量组中最大线性无关的向量个数，你可以认为是向量组对应矩阵的秩;而线性方程组解空间的维数指的是对应基础解系中所含的最大线性无关的向量个数，换句话说，这时候要判断的是span出解空间的向量组中的最大线性无关的向量个数，而不是拿系数矩阵列向量span出的空间维数判断，一个是零空间/核空间，一个是列空间/值域，表达的根本不是一个意思。线性代数中，向量空间的维数和解空间维数没有区别。解空间也是向量空间，是针对线性方程组而言的解空间，维数就是基础解系中线性无关的向量数。而向量的维数指的向量分量的个数。用大白话来讲就是描述一个向量需要用到好几个元素，有几个元素这个向量就有几维。比如最直观的三维向量，分别用x、y、z描述，所以这个向量就是三维的。

首先说明，为什么严格讲起来是不对的。请看这个方程，x1+x2+x3=3虽然只有一个方程，但也可以看成方程组的一种特殊情况吧，不影响解释很简单一个方程，最后的解是：[x1 x2 x3] = k1*[-1 1 0] + k2*[-1 0 1] + [3 0 0 ]这是正着求解，没问题。但是我们发现，通解还可以表示成为是：k1*[-1 1 0] + k2*[-1 0 1] + k3*[-2 1 1] + [3 0 0 ]那个[-2 1 1]其实就是[-1 1 0]+[-1 0 1]，k3那项其实是不独立的。可以拆开分到前两项里面去，那又回到了我们先前正着求解时得到的式子。但是，题目告诉我们：一个方程组的解是k1*[-1 1 0] + k2*[-1 0 1] + k3*[-2 1 1] + [3 0 0 ]，此时[-1 1 0]， [-1 0 1]， [-2 1 1]就不是通解，因为他们线性相关。 而题目说这个方程组的解是k1*[-1 1 0] + k2*[-1 0 1] + k3*[-2 1 1] + [3 0 0 ]确实是没有错的。因为所有解的确都能这样表示。但是如果题目反过来出，一般不会故意搞个线性相关的通解给你，所以我们可以这样直接认为。*************************************个人认为不会出现这样的情况，是齐次方程组的通解，应该就是系数矩阵的核空间（零空间），应该是唯一的才对，也就是a1,a2,...,an-r所张成的线性空间span{a1,a2,...,an-r}

这题的意思 就是把 u v正交化么？ 那么答案是（0，-1，-1，-1），（1,2，-5,3） 还是找跟uv平面正交的平面（关键这个span 不知道数学里是什么含义哦 你上课应该学了的） 如果是第二种 那么答案就是把uv转置 求解这个齐次方程组 再正交化了 那么。

本文目录 1、线性系统Linear System 2、Vectors、Matrices 2.1 向量Vectors 2.2 矩阵Matrix 2.3 矩阵与向量相乘 3、线性方程组有解么？ 3.1 线性方程组 3.2 线性组合Linear Combination 3.3 张成的空间Span 4、线性方程组有多少个解 4.1 线性相关和线性无关 4.2 秩Rank 5、求解线性方程组 5.1 初等行变换 5.2 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form 5.3 满秩 6、矩阵乘法 6.1 矩阵乘法的含义 6.2 矩阵乘法的性质 6.3 分块矩阵乘法 7、逆矩阵 7.1 什么是矩阵的逆 7.2 初等矩阵 7.3 什么矩阵是可逆的？ 7.4 求解一个矩阵的逆 8、行列式 8.1 什么是行列式？ 8.2 行列式的性质 8.3 行列式的计算 9、子空间 9.1 子空间 9.2 零空间 9.3 列空间和行空间 10、基Basis 10.1 什么是基Basis 10.2 基的特性 10.3 判断一个集合是否为基 10.4 三种空间的基和维度 11、坐标系 11.1 使用基表示向量 11.2 直角坐标系和其他坐标系的转换 11.3 坐标系与线性方程 12、特征值和特征向量 12.1 什么是特征值和特征向量 12.2 如何计算特征向量 12.3 检查一个标量是否为特征值 12.4 计算特征值 12.5 正定矩阵&半正定矩阵 13、对角化 13.1 可对角化 13.2 可对角化的性质 14、正交 14.1 范数和距离 14.2 点积和正交 14.3 正交补 14.4 正交投影 14.5 如何做正交投影 14.6 正交投影的应用-求解线性回归 14.7 正交基 14.8 正交矩阵 14.9 对称矩阵 15、奇异值分解 15.1 什么是奇异值分解？ 1、线性系统Linear System 一个线性系统满足两个条件：Persevering Multiplication和Persevering Addition。 Persevering Multiplication Persevering Addition 多元线性方程组是一个线性系统 。 2、Vectors、Matrices 2.1 向量Vectors 向量是一堆数的集合，分为列向量和行向量，本文中，向量默认是列向量，行向量用其转置表示。 向量与标量相乘 ，每一维都与该标量相乘： 向量相加 ，使用平行四边形法则： 零向量 ：所有维度的值都为0： 标准向量 ：一个维度是1，其余维度是0: 向量集 ：可以包含有限个或无限个向量： Rn : 所有的n维向量组成的向量集合 2.2 矩阵Matrix 矩阵是一组向量： 如果矩阵有m行和n列，我们就说矩阵的大小为m*n，如果m=n，我们称为方阵（square matrix）。 矩阵的元素下标表示，先行后列： 矩阵与标量相乘 ：每一个元素分别与该标量相乘。 矩阵相加 ：两个矩阵的形状必须一致，同位置的元素分别相加。 零矩阵 ：所有元素均为0的矩阵。 单位矩阵Identity matrix ：必须是方阵，对角线元素为1，其余为0，用In表示n*n的单位矩阵。 同形状的矩阵的一些运算法则 ： 矩阵的转置 ：沿左上到右下的对角线为轴进行翻转，将(i,j)位置的元素与(j,i)位置的元素互换得到的矩阵，转置的矩阵用AT表示。 矩阵转置的一些运算规则 ： 2.3 矩阵与向量相乘 矩阵和向量相乘，结果如下： 从行的角度来看矩阵和向量相乘 ：从行的角度看，矩阵A和向量x相乘，其结果是矩阵的A的每一行与向量x做点积(dot product,后面再介绍) 的结果。 从列的角度来看矩阵和向量相乘 ：从列的角度看，矩阵A和向量x相乘，相当于对矩阵A的列向量做了一次线性组合。 因此，无论从行角度还是列角度，矩阵A的列数要与向量x的维数相同。 矩阵和向量相乘的一些性质 ： 如果A和B都是m*n的矩阵，对所有的w，如果都有Aw=Bw，那么是否意味着A=B。结果是显然的。既然是所有的w，那么我们用标准向量就可以得到A和B的每一列都是相同的，因此A=B。 3、线性方程组有解么？ 3.1 线性方程组 对于一个线性方程组，我们可以写成矩阵和向量相乘的形式： 对于一个线性方程组，其解的情况可能是无解，有唯一解或者有无穷多个解。我们把所有的解的集合称为 解集(solution set) 如果线性方程组有解，我们就称其为 相容的(consistent) ，若无解，则称为 不相容的(inconsistent) 。 3.2 线性组合Linear Combination 线性组合是一个操作，将各个向量缩放之后，相加在一起，就得到了参与操作的向量之间的线性组合。 所以线性方程组的问题可以转变成：b是否可以表示成A中列向量的线性组合？ 举几个例子： 通过观察上面的例子，你可能会想，在二维平面中，是不是只要两个向量不平行，就一定有解？答案是肯定的，但有解时两个向量不一定平行，因为目标向量也可能跟它们平行。 3.3 张成的空间Span 对于一个向量集S，其向量的所有线性组合组成的向量集V，称为 Span(S) ，也被称为 S张成的空间 。 举几个二维空间中的例子吧，如果S中只有零向量，那么其张成的空间也只有零向量。 如果S中包含一个非零向量，那么其张成的空间是一条直线： 如果一个向量集包含两个不平行的非零向量，那么其可以张成整个二维平面： 所以一个线性方程组的问题又可以转换成两一个等价的问题：向量b是否在A的列向量所张成的空间中？ 4、线性方程组有多少个解 在上一节中，我们知道了如果b可以表示成A中列向量的线性组合或者b在A的列向量所张成的空间中，那么线性方程组有解，否则无解。但是，有解的情况下是唯一解还是多个解呢？我们还不知道。 4.1 线性相关和线性无关 给定一个向量集，如果其中一个向量可以表示成其余向量的线性组合，那么我们就说这组向量是 线性相关(Linear Dependent) 的。值得注意的是，零向量是任意向量的线性组合，因此只要包含零向量的向量集，都是线性相关的。 线性相关还有另一种定义，即可以找到一组非全零的标量，使得线性组合为零向量。 与之相对应，如果无法找到一组非全零的标量，使得线性组合得到零向量，那么这组向量就是 线性无关的(Linear Independent) ： 判断向量集是线性无关还是线性相关，其实就是看一个 齐次方程(Homogeneous Equations) 有无非零解： 由此，对于Ax=b，我们可以得到两个结论：如果A的列是线性相关的，且Ax=b有解，那么，它有无穷多个解；如果Ax=b有无穷多个解，那么A的列是线性相关的： 4.2 秩Rank 矩阵的秩(Rank) 定义为线性无关的列的最大数目： 矩阵的零化度(Nullity) 是矩阵的列数减去矩阵的秩： 也就是说，如果一个m*n的矩阵，其秩为n的话，它的列是线性无关的： 所以总结一下线性方程组的解的相关问题： 5、求解线性方程组 5.1 初等行变换 如果两个线性方程组的解集是相同的，我们就称它们是等价的(equivalent)。 对线性方程组做以下三种操作可以得到等价的方程组： 1）交换两行 2）对其中一行变为k倍 3）将一行的k倍加到另一行上 上面的三种操作我们也称为 初等行变换(elementary row operations) 这里我们介绍一下 增广矩阵(Augmented Matrix) ，即将A和b进行横向拼接： 因此，通过初等行变换，如果我们能够将增广矩阵转换为一个相对简单的形式，那么我们可以很快的得出最终的解。 5.2 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form 我们首先介绍行阶梯形式的矩阵，它满足两个条件，首先是非零行要在全零行的上面，其 先导元素(leading entries，每行的第一个非零元素) 按阶梯型排列： 在上述两个条件的基础上，如果先导元素所在的列都是标准向量的话，那么它就是 简化行阶梯形式Reduced Row Echelon Form ： 下面的矩阵不是简化行阶梯形式： 而下面的矩阵是简化行阶梯形式： 根据简化行阶梯形式，我们很容易得到线性方程组的解的形式。 如果简化行阶梯形式是[I;b"]的，那么线性方程组有唯一解： 下面的例子是有无穷多个解的情况，可以看到，第1、3、5列是包含先导元素的标准向量，其对应的变量也称为基本变量，而第2、4个变量被称为自由变量： 下面的例子是无解的情况，先导元素出现在了最后一列： 通过将增广矩阵化简为简约行阶梯形式，进而求解线性方程组解的方法，我们称之为 高斯消元法(Gaussian Elimination) 接下来，我们来看一下简约行阶梯型形式的一些性质： (1)化简为简约行阶梯型形式之后，列之间的关系不变 也就是说， 初等行变换不改变矩阵中列之间的关系 。加入A的简约行阶梯形式是R，那么Ax=0和Rx=0有相同的解集。 但是对于行来说，行阶梯形式改变了行之间的关系，比如原先两行是两倍的关系，其中一行变为二倍之后，二者就相等了，关系自然改变了。 (2)简约行阶梯形式改变了矩阵列所张成的空间 举个简单的例子就能理解，假设一个矩阵是[[1,2],[2,4]]，它所张成的空间是y=2x，化简后得到[[1,0],[0,0]]，此时所张成的空间却是整个平面。但是没有改变行所张成的空间。 (3)先导元素所在的列线性无关，其他列是这些列的线性组合 先导元素所在的列，在原矩阵中被称为 主列(pivot columns) ,这些列是线性无关的，其他列可以有主列的线性组合得到。 (4) 矩阵的秩等于主列的个数，等于简约行阶梯型里非0行的个数 根据这个性质，我们可以得到矩阵的秩的一个性质： Rank(A) <= Min(Number of columns,Number of rows) 因为秩等于主列的个数，所以秩一定小于等于列的个数，因为秩等于简约行阶梯型中非零行的个数，所以秩一定小于等于矩阵行的个数。 有这个性质我们还可以得出两个简单的结论： 对于m*n的矩阵A，如果m<n，那么矩阵A的列一定是线性相关的 和 在Rm空间中，无法找到多于m个线性无关的向量 。 所以我们再来回顾一下矩阵秩的判定，我们已经有多种得到矩阵秩的方式： (5)当m*n的矩阵A的秩为m是，方程组Ax=b恒有解 对于增广矩阵来说，如果变为简约行阶梯型后先导元素出现在了最后一列，则无解。 什么情况下Ax=b恒有解呢？b是一个m*1的向量，也就是说矩阵A的列向量可以张成整个Rm空间，即A的秩为行数m，也就是A变成简约行阶梯型之后没有全0行。 (6)m个线性无关的m维向量可以张成整个Rm空间，Rm空间中多于m个向量的向量集一定线性相关 5.3 满秩 如果m*n的矩阵的秩为n或者m，那么说该矩阵为 满秩(Full Rank) 。 6、矩阵乘法 6.1 矩阵乘法的含义 给定两个矩阵A和B，其相乘结果中的元素(i,j)是矩阵A的第i行和矩阵B的第j列的内积，因此，矩阵A的列数一定要个矩阵B的行数相等。 矩阵乘法可以看作是两个线性方程的组合： 6.2 矩阵乘法的性质 (1) AB <> BA (2)(AB)T= BTAT (3)其他性质 (4)对角矩阵相乘 6.3 分块矩阵乘法 分块矩阵相乘和普通矩阵相乘其实是相同的： 7、逆矩阵 7.1 什么是矩阵的逆 如果两个方阵A和B的乘积是单位矩阵，AB=I，那么A和B就是互为逆矩阵。 一个矩阵是 可逆的(invertible) 的，必须满足两个条件，首先要是方阵，其次是可以找到另一个方阵B，使得AB=I。 并不是所有的方阵都是可逆的。同时，一个矩阵的逆矩阵是唯一的 ： 逆矩阵可以用来求解一个线性方程组，但这种方法要求A是一个方阵，同时在计算上并不是十分有效率的： 7.2 初等矩阵 我们之前介绍了三种初等行变换，其实初等行变换都可以用矩阵相乘表示，这种左乘的矩阵被称作 初等矩阵(Elementary Matrix) 。即单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。 既然左乘一个初等矩阵相当于对单位矩阵做一次初等行变换，那么只要再左乘一个相反操作的初等矩阵，就可以再次变回单位矩阵，所以初等矩阵的逆很容易得到： 回顾我们如何得到矩阵的简约行阶梯形式，用的就是初等行变换，因此我们可以用左乘初等矩阵的形式，来得到矩阵的简约行阶梯形式。

扩张空间。S为一向量空间V（附于体F）的子集合。所有S的线性组合构成的集合，称为S所张成的空间，记作span(S)。在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。扩展资料：线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支，同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识。“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。很多实际问题的处理，最后往往归结为线性问题，它比较容易处理。因此，线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用，是一门基本的和重要的学科。参考资料来源：百度百科-线性代数

第一问证明它是线性空间，则只需证明它满足R空间的运算法则即可，如加法交换律，加法结合律之类之类，不过重要的是证明存在零元素使得a + 0 = a , 存在负元素a使得a + (-a) = 0。这个显然成立。第二问，当①x = 0 ② x =π ③x = 1/2π 时，e^x, sin(x), cos(x) 不全为零因为e^x, sin(x), cos(x)是V的基底，所以线性无关。所以，只有λ1=λ2=λ3=0，才使得λ1e^x + λ2 sin(x) + λ3 cos(x) = 0